Bertus Brouwer. Waar is slechts wat waar is.
Wiskundigen genieten zelden algemene bekendheid. Prestaties op het gebied van
de kunst of op natuurwetenschappelijk gebied spreken meer tot de verbeelding.
Over wiskunde bestaan twee misvattingen, een onder deskundigen en een onder
leken.
De wiskundigen zelf beweren maar al te makkelijk dat 'het voor
iedereen te volgen is'. Met een beroep op het logische verstand gaan ze
voorbij aan de voorkennis en ingesleten gewoontes die ze zelf spelenderwijs
kunnen hanteren, maar die voor een beginner in het vak nauwgezette oefening
en concentratie vragen. Wie dat als leraar vergeet heeft het bij de
leerlingen snel verbruid.
Buitenstaanders gaan er ten onrechte van uit
dat het bij de wiskunde een kwestie is van 'je snapt het, of je snapt het
niet'. Alsof zij 'die het snappen' het ook noodzakelijkerwijs altijd met
elkaar eens zouden zijn. Meningsverschil lijkt onmogelijk. Een (wiskundige)
bewering is tenslotte waar òf niet waar. Als iets immers niet 'niet waar' is,
dan moet het wel waar zijn, nietwaar?
Juist in de wiskunde is er een verbeten
strijd gevoerd over het principe van de uitgesloten derde: iets is waar of
niet waar, een derde mogelijkheid is er niet.
Veel informatie is ontleend aan: Droeve snaar, vriend van mij, brieven,
C.S. Adama van Scheltema en L.E.J. Brouwer, Amsterdam 1984 en diverse publicaties
van D. van Dalen.
Jeugd
Dat het voor wiskundigen ook niet altijd makkelijk te volgen is ondervonden
wij aan den lijve. Als eerstejaars studenten werden we op de werkcolleges
volgepropt met bewijzen en pagina's lange afleidingen. Alles volgens de
strakke regels van de logica. Iemand verzuchtte: 'Je zou toch eigenlijk zelf
moeten kunnen bepalen of iets klopt of niet. Dan is al dat puzzelen met
logische symbolen niet nodig. Een soort intuïtieve wiskunde; het logisch
geconstrueerde bewijs is dan een illustratie achteraf en in feite van minder
belang'. We waren direct enthousiast voor deze originele benadering. Het leek
er een stuk gemakkelijker door te worden. Later leerden we dat onze
medestudent met zijn laatste zin vrij nauwkeurig een van de grondgedachten
van Bertus Brouwer uitgesproken had: de logica is slechts een van de talen om
wiskunde in uit te drukken. Kennelijk was de sfeer van deze Amsterdamse
hoogleraar nog aanwezig in de collegezalen. Bertus Brouwer, die met iedereen
ruzie maakte, die er niet voor terugschrok om de grootste wiskundigen hun
gelijk te betwisten. 'De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet' schreef
hij nuchter als stelling bij zijn proefschrift. Bertus Brouwer, de wiskundige
die formules vermeed, het intellect verafschuwde, de logica wantrouwde, maar
de wiskunde het denken zelf weer teruggaf.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer werd op 27 februari 1881 in Overschie geboren.
Zijn vader Egbertus Luitzens Brouwer was een brave onderwijzer die de lange
weg naar een betere positie stap voor stap aflegde. Dat bracht nogal wat
verhuizingen met zich mee. Eerst naar Medemblik waar zijn twee broers geboren
werden, later naar Haarlem. Zijn moeder Hendrika Poutsma kwam uit een
intellectuele familie. Oom Poutsma kreeg voor zijn verdienste als anglist een
eredoctoraat. Bertus zelf was een gevoelig, slim ventje. In korte tijd
doorliep hij de lagere school en de HBS. Daarna zat hij zich nog twee jaar te
vervelen om zijn diploma gymnasium alfa en beta te halen voordat hij -zestien
jaar oud- bij de poort van de universiteit aanklopte.
Met een ruime toelage
van het Sint-Jobsleen uit Leeuwarden liet hij zich inschrijven bij de
faculteit voor wis- en natuurkunde in Amsterdam. In zijn Haarlemse tijd had
hij op lange fiets- en wandeltochten genoten van de ongerepte natuur in de
duinen. De studie van de wiskunde was aanvankelijk daarmee in schril contrast
en bekoorde hem niet. Het was voor hem een koude en onaandoenlijke wetenschap
die een levenloos kabinet van waarheden aanlegde.
Intellectueel gezien was
hij als geen ander tegen de studie opgewassen. Emotioneel raakte hij echter
in een diepe put. 'Ik vraag niets meer dan somber in een hoekje te
verkwijnen. Niettemin doe ik in doffe constantheid al mijn plichten tegenover
mijn lichaam; misschien komt het nog weer terecht, en treed ik met glanzende
blik in de wereld terug; of het is volbracht en ook daar ben ik mee vereend.'
Zo'n twee jaar lang was hij onder behandeling van zenuwartsen. Tot werken
kwam hij nauwelijks. Zijn hartsvriend, de dichter Carel Adama van Scheltema
schreef hem bemoedigende brieven: 'Een van de dingen waaraan je 't armst bent
geweest is liefde en hartelijkheid van huis en vrienden ... 't is zelfbedrog
te menen dat je er geen behoefte aan hebt - als je weer terug bent kom ik je
weer opzoeken'.
De vriendschap met Scheltema
De vriendschap tussen Brouwer en Scheltema nam in Brouwers leven een
bijzondere plaats in. Bertus ontmoette de wat oudere Scheltema voor het eerst
op een bijeenkomst van het dispuut 'Clio'. De twee hadden direct grote
bewondering voor elkaar. Scheltema in zijn dagboek: 'Dit is verreweg de
grootste mensch die ik tot nu toe ontmoette en ik geloof niet er grotere te
zullen ontmoeten.' In hun briefwisseling komen ze allebei als sombere,
zoekende mensen naar voren; twee eenzame koningen, ieder in zijn eigen rijk.
Op hemelvaartsdag 1903 constateerden ze in een indringend gesprek dat ze in
hun opvattingen niets gemeenschappelijk hadden. Carel Adama van Scheltema de
rationalist, socialist en wereldverbeteraar en Bertus Brouwer de
teruggetrokken, subjectieve idealist. En dan hun keerzijde: de een dichter,
de ander wiskundige; alsof twee mensen het verkeerde pak aangetrokken hadden.
Brouwer had zeker belangstelling voor literatuur. Bij gelegenheid schreef hij
recensies van Scheltema's werk. De hogere sferen waar Brouwer zich bewoog
waren voor Scheltema niet te volgen. 'Het essentieele van onze verhouding was
steeds mijn waarlijk onvermoeid pogen om hem tot de materieele wereld te
laten naderen.' De grote verschillen stonden een minstens zo grote waardering
niet in de weg. Tot aan de dood van Scheltema in 1924 hielden ze contact met
elkaar.
Filosofie gevlochten door wiskunde
Voor Brouwers wetenschappelijke loopbaan waren de colleges van Mannoury van
groot belang. Deze autodidact met een sprankelende fantasie liet zien dat in
de wiskunde wel degelijk plaats was voor schoonheid en speelsheid. Daarnaast
moet Brouwers promotor, professor Korteweg genoemd worden. Met veel tact en
inlevingsvermogen hanteerde hij het snoeimes bij Brouwers dissertatie 'Over
de grondslagen der wiskunde'.
Brouwer had graag veel meer filosofie
gevlochten door zijn wiskundige verhandelingen. Korteweg hield hem bij het
eigenlijke onderwerp. ' ... waarlijk Brouwer, het gaat niet. Daarin (in de
door Brouwer opgestuurde tekst) is een soort pessimistische en mystieke
levensbeschouwing ingevlochten die geen wiskunde meer is en ook met de
grondslagen der wiskunde niets te maken heeft. Zij moge in uw geest hier en
daar met wiskunde zijn samengegroeid; maar dat is dan geheel subjectief. Men
kan dáárin geheel van u afwijken en toch uw meningen over de grondslagen van
de wiskunde volkomen delen.' Grote delen uit het oorspronkelijke manuscript
werden geschrapt. De grondslagen van de wiskunde waren voor Brouwer de
getallen. Alle wiskunde was uiteindelijk op de getallen terug te voeren. Tijd
bestond op zich. Ruimte was daaruit afgeleid.
De kiem van Brouwers filosofische visie kunnen we lezen in 'Leven, kunst en
mystiek', de neerslag van een aantal lezingen voor Delftse studenten gehouden
in 1905. Brouwer trok daarin van leer tegen de uitbuiting van de natuur door
de techniek en het intellect op een manier die een milieu activist van
tegenwoordig niet zou misstaan: 'het verstand ziet nooit de wereld in haar
geheel, en de middelen die het dicteert in de richting van het begrensde in
't oog gevatte doel, zullen ... aan het geheel slechts schade doen'. De
oorzaak van alle droefenis was in zijn ogen de sprong van het doel naar het
middel. Het middel om een doel te bereiken was nooit precies op het doel
gericht en zou -nog erger- uiteindelijk een doel op zich worden waartoe weer
een ander middel werd gezocht. Zo raakte het streven van de mens steeds
verder van zijn doel af. De oplossing was de 'zelfinkeer', het nauwkeurig
luisteren naar de eigen intentie, het gelaten volgen van het eigen karma.
Merkwaardig waren daarbij zijn opvattingen over de vrouw, die volgens
Brouwers slechts geschapen was om haar man te dienen.
Buitengewoon hoogleraar
In 1904 trouwde Brouwer met Lize de Holl, een elf jaar oudere vrouw die uit
een eerder huwelijk een dochter meebracht. Met financiële steun van onder
andere Scheltema kochten ze een apotheek in Amsterdam aan de Overtoom. Deze
zaak zorgde voor de nodige inkomsten. Brouwer deed de administratie. In 1907
stopte zijn toelage en zijn wiskundig werk bracht niet veel geld binnen.
In 1909 werd Brouwer privaatdocent, een onbezoldigde functie aan de
universiteit. Het volgen van een wetenschappelijke carrière had Brouwer heel
wat hoofdbrekens gekost. Hij wist dat hij een briljant wiskundige kon worden,
maar de leerstoelen daarin lagen niet voor het oprapen. Wetenschappelijke
medewerkers of assistenten waren er niet bij dat vak. Het was dus alles of
niets. Hij ging aan de slag en besloot het gebied van de topologie te
ontginnen. Voor deze 'gummimeetkunde' van uitrekken en vervormen ontwikkelde
hij baanbrekende methodes.
Een van zijn eerste resultaten was de
dekpuntstelling. Populair gezegd: als je een glas melk roert -zonder te
spatten- dan zal als de vloeistof weer tot rust is gekomen zich minstens één
deeltje weer op dezelfde plaats bevinden. Hij werd dé autoriteit in het
nieuwe vakgebied. In 1912 werd hij buitengewoon hoogleraar. Een jaar later
volgde hij Korteweg op, die zijn plaats welwillend ter beschikking stelde.
Ondanks aanbiedingen uit het buitenland bleef hij aan de Universiteit van
Amsterdam verbonden.
Getallen opnieuw bekijken
In 1908 verscheen in het Tijdschrift voor Wijsbegeerte het artikel 'de
onbetrouwbaarheid der logische principes'. De redactie had het met grote
aarzeling geplaatst. In een tot het uiterste samengebalde taal zette Brouwer
zijn bezwaren tegen het gangbare gebruik van de logica uiteen. Zijn
samenvatting was kernachtig en onverbiddelijk: 'In wijsheid is geen logica.
In wetenschap is logica vaak, maar niet duurzaam doeltreffend. In wiskunde is
niet zeker of alle logica geoorloofd is...'.
Met het laatste doelde hij op
het principe van de uitgesloten derde. Om dat te begrijpen moeten we een
uitstapje maken naar de getaltheorie. Daar worden de getallen
bekeken. De gehele getallen en de rationale getallen, dat wil zeggen
alle mogelijke uitkomsten van delingen, kortom de breuken. Vervolgens blijken
er getallen te bestaan die je niet als een breuk kunt schrijven. Het getal
waarvan het kwadraat twee is bijvoorbeeld. Hoe je ook rekent, met nog zoveel
cijfers achter de komma, het komt nooit precies uit. Nog vreemder is het
getal pi, de verhouding van de middellijn van een cirkel tot de omtrek. Met
behulp van achthoeken binnen en buiten een cirkel kun je het ongeveer
berekenen 3.1415.... Helemaal precies wordt het nooit. Het zijn getallen die
zich aan je greep onttrekken. Toch kun je op een lijn aangeven hoe groot ze
zijn. Het zijn reële getallen.
Brouwer maakte nu bijvoorbeeld de uitspraak:
'in het getal pi komen oneindig veel paren gelijke cijfers voor'. Van deze
uitspraak kun je niet zeggen dat hij waar is òf niet waar, het is een
wiskundig probleem dat geen oplossing bezit. Om het op te kunnen lossen zou
je immers het getal pi helemaal moeten kennen en dat is bij een oneindig
voortlopende reeks cijfers zonder regelmaat onmogelijk. Daarom was voor
Brouwer het gebruik van het principe van de uitgesloten derde niet altijd
geoorloofd.
De wiskundige wereld in verwarring
In die tijd was de wiskundige wereld in verwarring. De verzamelingenleer van
Georg Cantor had een begrippenkader geschapen dat overal toepasbaar leek.
Helaas leidde het tot een aantal vreemde paradoxen. Het fundament was niet
solide. De krachtigste poging om die problemen op te lossen was die van het
formalisme, onder aanvoering van de Duitse wiskundige Hilbert. Hilbert
probeerde door een streng hanteren van de logica de wiskunde een nieuw
fundament te geven. Een logicus het principe van de uitgesloten derde
ontnemen is zoiets als een bosarbeider zijn moterzaag afpakken: het werk word
aanzienlijk zwaarder.
De bewondering van Hilbert voor de geniale Brouwer
sloeg om in angst en weerzin. De strijd liep hoog op. Hilbert vreesde dat de
revolutionaire Brouwer het wiskundig bouwwerk zou afbreken. Toen hij ernstig
ziek werd had hij geen rust voordat hij Brouwer uit de redactie van het
gezaghebbende tijdschrift 'Mathematische Annalen' gestoten had. Brouwer was
diep gekwetst. De strijd was niet door argumenten maar door een machtswoord
beslist. Het was de zoveelste strijd waar hij als de geslagen hond uitkwam.
Bij verschillende van zijn meetkundige ontdekkingen eisten anderen de eer op.
Voor zijn opvattingen dat wiskunde een creatieve activiteit van de menselijke
geest was in plaats van een dor mechanisch spel met logische symbolen vond
hij maar weinig medestanders.
Creatieve uitbarstingen en rustige periodes
Brouwer verbleef afwisselend in Blaricum en in Amsterdam. Al in zijn
studententijd beschikte hij in Blaricum over een eenvoudig huisje. Hij kon er
zijn werk combineren met zijn liefde voor de natuur. Zijn vrouw bleef dan in
Amsterdam om voor de apotheek te zorgen. Het verhaal gaat dat ze van tijd tot
tijd een pannetje eten met de Gooise tram meegaf, dat Brouwer in Laren
ophaalde.
Brouwer was een voorstander van natuurlijk leven en vegetarisme, al
was hij daarin niet dogmatisch. Aan vleesetend gezelschap kon hij zich goed
aanpassen en vastendagen onderbrak hij wel met het eten van nootjes uit zijn
bureaula. Gekleed in wit linnen pak, of in een lange mantel met brede
bontkraag was zijn lange magere gestalte een opvallende verschijning. 'Als ik
daarentegen Brouwer zie met zijn scherpe trekken en uitgeteerd lijf en slappe
huid en dikke aderen dan houd ik mijn hard vast, en wilde dat hij maar vlees
wou,...' schreef Frederik van Eeden in zijn dagboek. De lange fietstochten
die Brouwer met Van Eeden maakte vormden een aanwijzing dat de vroegere
gezondheidsproblemen verdwenen waren.
Creatieve uitbarstingen en rustige periodes wisselden elkaar bij Brouwer af.
Zowel in het klein als in het groot. Tijdens het werken had hij vaak een
luchtig romannetje bij de hand om af en toe in te lezen. Stromen publikaties
werden onderbroken door periodes waarin hij weinig van zich liet horen. In
1953 maakte hij een reis langs Canadese en Amerikaanse universiteiten.
Brouwer was gevreesd om de felheid waarmee hij zijn standpunt naar voren kon
brengen, maar hij kon ook uitermate charmant zijn. Hij omringde zich graag
met vrouwelijk gezelschap. Zijn interesse in literatuur en muziek bleef. De
contacten met vakgenoten namen langzamerhand af. Toen zijn vrouw in 1959
overleed bleef hij achter met hun huisgenote Cor Jongejan. Zij vergezelde hem
op reis en fungeerde als Brouwers secretaresse. Op de avond van 2 december
1966 vroeg zij aan hem of hij een sinterklaaspakje weg wilde brengen. Brouwer
sloeg een grauwe deken om en stak met het pakje onder de arm de straat over.
Hij werd door een auto gegrepen en stierf dezelfde dag.
|