Bertus Brouwer. Waar is slechts wat waar is.
Getallen opnieuw bekijken
In 1908 verscheen in het Tijdschrift voor Wijsbegeerte het artikel 'de
onbetrouwbaarheid der logische principes'. De redactie had het met grote
aarzeling geplaatst. In een tot het uiterste samengebalde taal zette Brouwer
zijn bezwaren tegen het gangbare gebruik van de logica uiteen. Zijn
samenvatting was kernachtig en onverbiddelijk: 'In wijsheid is geen logica.
In wetenschap is logica vaak, maar niet duurzaam doeltreffend. In wiskunde is
niet zeker of alle logica geoorloofd is...'.
Met het laatste doelde hij op
het principe van de uitgesloten derde. Om dat te begrijpen moeten we een
uitstapje maken naar de getaltheorie. Daar worden de getallen
bekeken. De gehele getallen en de rationale getallen, dat wil zeggen
alle mogelijke uitkomsten van delingen, kortom de breuken. Vervolgens blijken
er getallen te bestaan die je niet als een breuk kunt schrijven. Het getal
waarvan het kwadraat twee is bijvoorbeeld. Hoe je ook rekent, met nog zoveel
cijfers achter de komma, het komt nooit precies uit. Nog vreemder is het
getal pi, de verhouding van de middellijn van een cirkel tot de omtrek. Met
behulp van achthoeken binnen en buiten een cirkel kun je het ongeveer
berekenen 3.1415.... Helemaal precies wordt het nooit. Het zijn getallen die
zich aan je greep onttrekken. Toch kun je op een lijn aangeven hoe groot ze
zijn. Het zijn reële getallen.
Brouwer maakte nu bijvoorbeeld de uitspraak:
'in het getal pi komen oneindig veel paren gelijke cijfers voor'. Van deze
uitspraak kun je niet zeggen dat hij waar is òf niet waar, het is een
wiskundig probleem dat geen oplossing bezit. Om het op te kunnen lossen zou
je immers het getal pi helemaal moeten kennen en dat is bij een oneindig
voortlopende reeks cijfers zonder regelmaat onmogelijk. Daarom was voor
Brouwer het gebruik van het principe van de uitgesloten derde niet altijd
geoorloofd.
>
|