Bruchrechnung und Musik
Man kann versuchen die Schüler dahin zu bringen, dass sie mit den Brüchen rein
äußerlich umgehen können, weil nun einmal das heutige Leben vom Erwachsenen die Kenntnis der Bruchrechnung
Verlangt. Es kann nicht abgestritten werden, dass man auf diesem Wege bisher
weit gekommen ist. Die Schüler werden auf Grund einer solchen Schulung z. B.
recht gut und sehr bald die verschiedensten Brüche miteinander multiplizieren können, indem sie mechanisch einerseits die
Zähler und andererseits die Nenner multiplizieren. Sie werden sogar, wenn sie
älter geworden sind und ihr Begriffsvermögen erstarkt ist, imstande sein, auch zu verstehen, warum man so verfahren Muss.
Besser ist es die Technik des Bruchrechnens zugunsten eines tieferen Eindringens in das Bruchwesen
einzuschränken, wenn nicht die heutige Zivilisation die absolute Beherrschung alles Rechnerischen gebieterisch forderte.
Wenn man die Aufgabensammlungen daraufhin prüft, welche Beispiele für die
Multiplikation und die Division von Brüchen aus dem täglichen Leben gebraucht
werden, so ist das Ergebnis äußerst mager. Umso reichhaltiger wird man mit
Aufgaben bedient, welche rein formalen Charakters sind. Und doch gibt es ein
Anwendungsgebiet, das sich sämtliche Aufgabensammlungen bisher haben entgehen
lassen, die Intervallenlehre im Gebiete des Musikalischen. Dort kommt man ohne
das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen nicht aus.
Beispielen aus dem Musikalischen
Wenn es sich z. B,
darum handelt, von einem Grundton c um zwei große Ganztöne vom Intervall 9/8
fortzuschreiten, so gelangt man zur sogenannten pythagoreischen Terz des
Grundtons c, deren Intervall sich als 9/8 . 9/8/= 81/64 ergibt. Sie liegt um
ein Geringes, um ein "Haar" höher als die natürliche Terz vom Intervall 5/4.
Dieser Betrag wird syntonisches Komma genannt; es errechnet sich, indem man den Bruch 81/64 durch den Bruch 5/4 teilt:
81/64 : 5/4 = 81/64 : 80/64 = 81/80
Man kann nun auch die Frage beantworten, welche zwei Ganztöne die natürliche
Terz vom Grundton trennen, und benötigt zu dieser Aufgabe die Rechnung:
9/8 · x = 5/4
x = 5/4 : 9/8 = 5/4. 8/0 = 40/36=10/9
Man nennt das Ergebnis einen kleinen Ganzton und weiß nun, dass die natürliche
Terz die Summe eines großen und eines kleinen Ganztons ist:
9/8 mal 10/9 = 90/72 = 5/4
An Hand eines Monochords oder einer Lochsirene ist man dann in der Lage zu den
Intervallbrüchen z.B. einer Durtonleiter zu gelangen:
Prim Sekund Terz Quart Quint Sext Septim Oktav None ...
1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2 9/4 ...
Somit entspricht:
der Addition von Tonschritten die Multiplikation der Intervallzahlen
der Subtraktion von Tonschritten die Division der Intervallzahlen
der Verdoppelung des Tonschritts die Quadrierung der Intervallzahl
der Halbierung des Tonschritts die Radizierung der Intervallzahl
| 
